Menge Mathematik Beispiel Essay

Mengen und Elemente gehören zu den Grundlagen der Mathematik. In diesem Zusammenhang gehen wir auch auf die Mengendarstellung, Teilmengen, Vereinigungsmengen etc. ein. Was es mit diesen Begriffen auf sich hat, behandeln wir in diesem Artikel.

Nicht nur im realen Leben, sondern auch in der Mathematik versucht man, Dinge in Kategorien einzutragen. Aus diesem Grund hat man in der Mathematik den Begriff der Mengen eingeführt. So gehören zum Beispiel die Zahlen 1, 2, 3, 4 etc. zur Menge der natürlichen Zahlen.

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Darstellung von Mengen

Sehen wir uns ein weiteres Beispiel an: Das Objekt x gehört zur Menge M. Mathematisch gesehen schreibt man dies so: xεM. Gehört ein Objekt nicht zu einer Menge, wir das Element-Zeichen ε in der Mitte einfach durchgestrichen. Im nun Folgenden werden vier Zahlen einer Menge zugewiesen: M = {1, 2, 3, 4}. Die Zahlen, welche zu einer Menge gehören, werden somit in geschweifte Klammern geschrieben. Eine grafische Lösung existiert ebenfalls für dieses Beispiel und sieht wie folgt aus:

Tabelle nach rechts scrollbar

Einige weitere Beispiele sollen das Prinzip der Mengen weiter verdeutlichen:

  • Die Menge der natürlichen Zahlen: M = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ...}
  • M1 = { x|x ist eine reelle Zahl und Lösung der Gleichung x2 = 1} = {-1, 1}
  • M2 = { x|x ist eine natürliche Zahl mit -2 < x ≤ 4 } = {0, 1, 2, 3, 4}

Weitere Begriffe

Rund um Mengen wurden eine Reihe an Begriffen eingeführt, auf die wir euch nun aufmerksam machen möchten.

  • Leere Mengen: Die leere Menge enthält kein Element, auch nicht die Null.
  • Gleichheit von Mengen: Man nennt zwei Mengen A und B gleich, wenn jedes Element von A auch Element von B ist und jedes Element von B auch Element von A ist.
  • Mächtigkeit von Mengen: Zwei Mengen X und Y sind gleichmächtig, wenn es eine eindeutige Abbildung der Elemente aus X auf die Elemente von Y gibt, also wenn jedem Element aus X genau ein Element aus Y zugeordnet werden kann.
    • Endliche Mengen sind gleichmächtig, wenn sie die gleiche Anzahl an Elementen besitzen
  • Teilmenge: Die Menge A ist Teilemenge der Menge B, wenn jedes Element von A zugleich in B enthalten ist. B heißt dann Obermenge von A.
    • Schreibweise:
    • Beispiel: A sei die Menge aller Schüler der sechsten Klasse. B sei die Menge aller Schüler dieser Schule. Somit ist jedes Element von A auch ein Element von B.
  • Echte Teilmenge: Ist jedes Element von A zugleich in B enthalten und gibt es in B mindestens ein Element, welches nicht in A enthalten ist, dann ist A echte Teilmenge von B.
  • Elementfremde (disjunkte) Mengen: Zwei Mengen X und Y sind disjunkt (elementfremd), wenn sie kein gemeinsames Element besitzen.
    • Beispiel: Die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null und die Menge der negativen Zahlen sind elementfremd.
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Mengenoperationen

Als Mengenoperation wird die Verknüpfung zweier Mengen bezeichnet. Aus den Elementen der Ausgangsmengen wird dabei eine neue Menge gebildet. Auch hier sind wieder mehrere mathematische Begriffe definiert worden:

  • Vereinigungsmenge: Fasst man die Elemente von zwei Mengen zusammen, erhält man die Vereinigungsmenge.
    • Beispiel: Die Menge A = {1, 2, 3, 4} und die Menge B = {1, 5, 6, 7} werden vereinigt und als Menge C bezeichnet. Diese sieht dann wie folgt aus: C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
  • Schnittmenge: Zu einer Schnittmenge gehören alle Elemente, die in beiden Mengen vorhanden sind.
    • Beispiel: Zu den Mengen A = {1, 2, 3, 4} und B = {2, 4, 6, 7} wird die Schnittmenge C gebildet. Diese sieht wie folgt aus: C = {2, 4}
  • Differenzmenge: Die Differenzmenge (Restmenge) A\B zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die zu A, nicht aber zu B gehören.
    • Beispiel: Wir haben die Mengen A = {1, 5, 7, 10} und B ={0, 1, 7, 15} und bilden die Differenzmenge A\B = {5, 10}

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In der Mathematik und insbesondere in der Logik und der Mengenlehre bezeichnet man die Gesamtheit aller Objekte, für die Aussagen gemacht werden, häufig als Universum. Der Wahrheitswert einer Aussage hängt immer vom zugrundeliegenden Universum ab. Zum Beispiel ist die Aussage „Es gibt ein kleinstes Element“ für die natülichen Zahlen wahr und für die ganzen Zahlen falsch.

Neben dem Begriff Universum gibt es zahlreiche weitere Begriffe, wie Gegenstandsbereich oder Individuenbereich (letzterer bezeichnet allerdings in der Mengenlehre teilweise auch nur einen Teilbereich des Universums). Im angelsächsischem Sprachraum haben sich die Begriffe universe of discourse (Diskursuniversum), domain of discourse (Diskursbereich, Diskursdomäne) oder auch universal set (Universalmenge) eingebürgert.

In einem Universum gibt es meist unterschiedliche Arten von Objekten. Beispielsweise beinhaltet das Universum einer geometrischenTheorie üblicherweise Punkte, Geraden und Ebenen. Auch in einem Universum der Mengenlehre werden zumeist mindestens zwei Arten von Objekten unterschieden Individuen und Container. Container (Klassen) fassen beliebig viele Individuen (z. B. Urelemente) zu einer Einheit zusammen. Spezielle Klassen (Mengen) – aber beileibe nicht alle Klassen (vgl. Russellsches Paradoxon) – sind ebenfalls Individuen und können damit auch in Klassen enthalten sein.

In der nachfolgenden Definition wird der Begriff Universum auch für informationstechnische Systeme – wie etwa Datenbanksysteme, Web-Anwendungen, Computerspiele etc. – eingeführt. Für derartige Systeme ist dieser Begriff weniger verbreitet. Man spricht zumeist von Datentypen (data types) oder – vor allem in der theoretischen Informatik – von Typentheorie (type theory).[1] Das Universum eines informationstechnischen Systems ist durch die Gesamtheit aller zugehörigen Datentypen festgelegt (nicht jedoch durch die Gesamtheit aller Objekte, die zu einem bestimmten Zeitpunkt im System existieren). Es enthält alle Objekte des Systems, die potentiell erzeugt, manipuliert und auch wieder zerstört werden können.

1 Definition „Universum“ (W. Kowarschick)

Einer mathematischen Theorie oder einem informationstechnischen System liegt i. Allg. ein mindestens ein Universum zugrunde, das alle Objekte umfasst, die in der Theorie behandelt bzw. vom System (potentiell) verarbeitet werden können. Eine mathematische Theorie ist üblicherweise für viele, oft sogar für unvorstellbar viele unterschiedliche Universen definiert. Einem informationstechnischen System liegt dagegen im Allgemein genau ein Universum zugrunde, das sich aber mit der Zeit ändern kann.

Anzahl der Universen
Für mathematische Theorien wird das Universum i. Allg. mit Hilfe einer Metatheorie durch Interpretation und Modellbildung festgelegt. Zu einer Theorie gibt es normalerweise sehr viele unterschiedliche Möglichkeiten, das Universum zu interpretieren. Man denke nur an die Gruppentheorie. Es gibt eine unüberschaubare Anzahl von Gruppen, für die die Gruppenaxiome gelten, für die also alle Aussagen gelten, die sich aus den Gruppenaxiomen ableiten lassen.

In der Informatik ist für jedes System üblicherweise genau ein Universum definiert, das sich allerdings manchmal im Laufe der Zeit ändern kann:

Anzahl der Elemente eines Universums
Seit Georg Cantors Arbeiten über die Mächtigkeit von Mengen ist bekannt, dass es nicht nur abzählbare (d. h. endliche und abzählbar unendliche) Mengen gibt, sondern auch überabzählbare.[4] Zu jedem noch so umfangreichen Universum gibt es eine unüberschaubare Anzahl von Universen, die (sehr viel) mehr Elemente enthalten.[5]

Ein Universum eines informationstechnischen Systems enthält dagegen i. Allg. nicht mehr als abzählbar viele Elemente. Die atomaren Datentypen (, Integer, etc.) enthalten fast immer nur endliche viele Elemente, da die Anzahl der Bits, die zur Repräsentation dieser Werte verwendet werden darf, üblicherweise beschränkt ist. Komplexe Datentypen, wie Listen, Bäume, Zeichenketten etc, enthalten dagegen abzählbar unendlich viele Elemente, da Listen beliebig lang, Bäume beliebig groß etc. werden können. (Genau genommen können auch derartige Objekte nicht beliebig groß werden, da sie üblicherweise mit Hilfe von Zeigern (Pointer/Verweise) gebildet werden. Zeiger werden meist mit Hilfe von system- oder hardwarespezifischen Integerzahlen realisiert, und derartige Integerzahlen sind stets längenbeschränkt. Das heißt, es gibt nur endlich viele Pointer, und da es auch nur endliche viele atomare Objekte gibt, gibt es schlussendlich nur endlich viele komplexe Objekte. Bei theoretischen Betrachtungen, werden aber derartige Beschränkungen üblicherweise nicht berücksichtigt.)

Anzahl der tatsächlich vorhandenen Elemente eines IT-Systems
Wie soeben begründet wurde, enthält ein informationstechnisches Universum i. Allg. abzählbar unendlich viele Elemente. Ein reales laufendes IT-System enthält dagegen mit Sicherheit immer endlich viele Objekte (die dem zugehörigen Universum entstammen), und zwar dem einfachen Grund, dass es nur endlich viel Speicher gibt. Ein theoretisches IT-System, wie beispielsweise eine Turingmaschine, enthält üblicherweise abzählbar unendlich viele Speicherzellen und kann daher auch abzählbar unendlich viele Objekte erzeugen. Dafür benötigt es aber auch mindestens abzählbar unendlich viele Taktzyklen. Zum Beispiel erzeugt folgender Algorithmus $\omega$ Brüche ($\omega$ ist die Mächtigkeit der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$) der Art $\frac{1}{2^i}$ ($i \in \mathbb{N}$) und gibt nach $\omega$ Schritten „“ als Ergebnis aus. Das Universum dieses Algorithmus umfasst alle natürliche und alle rationale Zahlen, d. h. insgesamt abzählbar unendlich viele Elemente, wie man in Anlehnung an Cantor[5] leicht zeigen kann.

// Archilles ist doppelt so schnell wie die Schildkröte. Sie veranstalten ein Wettrennen.// Nach wie vielen Zeiteinheiten überholt Archilles die Schildkröte, wenn er // hinter ihr startet und in einer Zeitheitheit den Startpunkt der Schildkröte erreicht? varresult:rational=1;foreach(variinnatural){result+=1/Math.pow(2,i);}console.log("Achilles benötigt "+result+" Zeiteinheiten");

2 Definition „Universe of Discourse“ (Langenscheidt Online-Wörterbuch[6])

Universe of Discourse (Übersetzung „Englisch → Deutsch“): in logic: geistiger Raum einer Abhandlung

3 Definition „Konzeptuelles Schema“ (Kern-Bausch, Jeckle (2001), S. 473[7])

Ein konzeptuelles Schema beschreibt den relevanten Informationsbereich, den die Datenbank repräsentiert (auch Miniwelt oder Universe of Discourse (UoD) genannt), insbesondere auch die Gesetzmäßigkeiten, denen die Information unterliegt.

4 Definition „Universe of Discourse“ (Menne (1973), S. 23[8])

Universe of Discourse: ...; komplementäre Begriffe erschöpfen zusammen den gesamten Diskussionsbereich, das sogenannte universe of discourse, d. h. den Bereich der Gegenstände, der überhaupt zur Debatte steht. Beispiele: Mensch – Nichtmensch; Europäer – Nichteuropäer; Metall – Nichtmetall.

Anmerkung
Diese Definition des Begriffs „Universe of Discourse“ geht auf die Definition des Begriffs „Universe“ von Augustus De Morgan aus dem Jahr 1847 zurück (siehe dessen Definiton im Abschnitt Gechichte).[9]

Die Beispiele Europäer – Nichteuropäer und Metall – Nichtmetall sind zweideutig. Üblicherweise versteht man unter Nichteuropäern Menschen, die nicht aus Europakommen und unter Nichtmetallen chemische Elemente, die keine Metalle sind. Wenn allerdings der „Universe of Discourse“ alles Realseiendes (Menne, S29; er skizziert dort den arbor Porphriana von Porphyrios von Tyrus (233 – 300)) umfasst, muss auch ein Stuhl sowohl als Nichteuropäer, als auch als Nichtmetall aufgefasst werden.

5 Definition „Universe of Discourse“, „Gegenstandsbereich“ (Menne (1973), S. 77[8])

Universe of Discourse, Gegenstandsbereich (Prädikatenkalkül und Klassenkalkül): Bereich der Dinge, die überhaupt in Betracht kommen

Anmerkung

Menne geht im Anschluss an seine zweite Definition des Begriffs „Universe of Discourse“ auf die im vorangehenden Abschnitt skizzierte Problematk ein. Er verdeutlicht, dass nicht der Komplementärbegriff das Universum bestimmt, sondern umgekehrt das Universum den Komplementärbegriff (vgl. Quine (1954) bzw. Quine (1995), S. 51[10][11]). Bei der Bedeutung des Komplementsbegriffs kommt es auf die Wahl des Gegenstandsbereiches an. Wenn der Gegenstandsbereich beispielsweise alle Raubtiere umfasst, ist ein Nichtlöwe stets ein Raubtier, wie z. B. ein Wolf, ein Leopard oder ein Fuchs. Wenn man dagegen die Landtiere betrachtet, gehören auch Elefanten, Igel und Regenwürmer zu den Nichtlöwen. Menne gibt weitere Nichtlöwen-Beispiele für die Gegenstandsbereiche Tiere, Lebewesen, körperliche Dinge, Gegenstände (zu denen er auch Dreiecke, Rotkäppchen und Zeus zählt) und schließlich für den Bereich aller überhaupt möglichen Dinge an. (Anmerkung WK: Es ist nicht klar, was der Bereich aller überhaupt möglichen Dinge überhaupt sein soll. Ist beispielsweise der Gegenstandsbereich aller nicht formal definierbaren Dinge ein mögliches Ding? Enthält sich der Bereich aller überhaupt möglichen Dinge oder der Bereich aller nicht formal definierbaren Ding selbst? )

Menne trifft folgende Vereinbarung: Ist der Gegenstandsbereich nicht ausdrücklich eingeschränkt, so soll dieser weiteste Bereich genommen werden, der alle die Gegenstände umfasst, die nicht in sich widerspruihsvoll sind (wie viereckige Kreise zum Beispiel). Er betont allerdings, dass im normalen Sprachgebrauch viele Gegenstandsbereiche implizit vorgegeben sind, wie z. B. bei Nichtrauchern, Nichtschwimmern, Nichtmetallen etc.

TO BE DONE

Definition Definition Hermes Logik

6 Geschichte

Der Begriff „Universum“ wurde laut Charles Sanders Peirce und Christine Ladd-Franklin[12] im Jahr 1846 von Augustus De Morgan in den Transactions of the Cambridge Philosophical Society[13] für die mathematische Logik eingeführt. Am 9. November 1846 wurde der Artikel tatsächlich von De Morgan zur Publikation eingereicht, aber der Sammelband, in dem der Artikel enthalten ist, wurde erst 1849 publiziert. Im Jahre 1847 veröffentlichten De Morgan und George Boole zwei bahnbrechende Bücher, in denen der Begriff Universum – sehr wahrscheinlich unabhängig voneinander – ebenfalls eingeführt wird: “Formal Logic”[9] (De Morgan) und “The Mathematical Analysis of Logic”[14] (Boole). Dies waren vermutlich die ersten Veröffentlichungen zu diesem Thema. Sowohl De Morgan als auch Boole legten viel Wert auf den Komplementbegriff: Ein Klasse K (De Morgan spricht vom „Namen“ K) und ihr Komplement Nicht-K haben keine gemeinsamen Elemente, enthalten aber zusammen alle Elemente des zugrundeliegenden Universums.

1854 hat George Bool in seinem zweiten großen Werk “An Investigation of The Laws of Thought”[15] den noch heute üblichen Begriff “universe of discourse” geprägt, welcher 1902 erstmals Eingang in ein Wörterbuch fand. Diesen Eintrag haben der begnadete Philosoph, Logiker und Mathematiker Charles Sanders Peirce sowie seine hochbegabte Schülerin Christine Ladd-Franklin verfasst.[12] (Christine Ladd-Franklin war die erste Frau, die eine Promotion in Mathematik geschrieben hat, allerdings wurde diese erst 44 Jahre später formal anerkannt.[16])

6.1 Definition „Universe“ (De Morgan (1846), S. 380[13])

Writers on logic, it is true, do not find elbow-room enough in anything less than the whole universe of possible conceptions; but the universe of a particular assertion or argument may be limited in any matter expressed or understood. And this without limitation or alteration of any one rule of logic.

$...$

By not dwelling upon this power of making what we may properly (inventing a new technical name) call the universe of a proposition, or of a name, matter or express definition, all rules remaining the same, writers on logic deprive themselves of much useful illustration.

Übersetzung (W. Kowarschick)
Es ist wahr, dass Logik-Autoren nicht genug Ellbogenfreiheit in weniger als dem gesamten Universum der möglichen Konzepte vorfinden; aber das Universum einer bestimmten Aussage oder eines bestimmten Arguments kann auf jede Art eingeschränkt werden, die ausgedrückt oder verstanden werden kann. Und das ohne Einschränkung oder Änderung irgendeiner logischen Regel.

$...$

Wenn Logik-Autoren nicht näher auf dieses Potential eingehen, mittels einer inhaltlichen oder expliziten Definition das zu machen, was wir angemessenerweise (indem wir einen neuen technischen Begriff erfinden) das Universum einer Aussage oder eines Namens nennen, wobei alle Regeln dieselben bleiben, berauben sie sich selbst einer sehr nützlichen Darstellungsmöglichkeit.

6.2 Definition „Universe“ (De Morgan (1847), S. 37, 38, 41, 55[9])

Let us take a pair of contrary names, as man and not-man. It is plain that between them they represent everything imaginable or real, in the universe. But the contraries of common language usually embrace, not the whole universe, but some one general idea. Thus, of men, Briton and alien are contraries: every man must be one of the two, no man can be both. Not-Briton and alien are identical names, and so are not-alien and Briton.

...

Names may be represented by the letters of the alphabet: thus A, B, &c., may stand for any names we are considering, simple or complex. The contraries may be represented by not-A, not-B, &c., but I shall usually prefer to denote them by the small letters a, b, &c. Thus, everything in the universe (whatever that universe may embrace) is either A or not-A, either A or a, either B or b, &c. Nothing can be both B and b; every not-B is b, and every not-b is B: and so on.

...

But if we remember that in many, perhaps most, propositions, the range of thought is much less extensive than the whole universe, commonly so called, we begin to find that the whole extent of a subject of discussion is, for the purpose of discussion, what I have called a universe, that is to say, a range of ideas which is either expressed or understood as containing the whole matter under consideration. In such universes, contraries are very common: that is, terms each of which excludes every case of the other, while both together contain the whole.

...

By the universe of a proposition, I mean the whole range of names in which it is expressed or understood that the names in the proposition are found. If there be no such expression nor understanding, then the universe of the proposition is the whole range of possible names. If, the universe being the name U, we have a right to say ' every X is Y ,' then we can only extend the universe so as to make it include all possible names, by saying 'Every X which is U is one of the Ys which are Us,' or something equivalent.

...

Names which are contraries in one universe, are not necessarily so in a larger one. Thus in geometry, when the universe is one plane, pairs of straight lines are either parallels or intersectors, and never both: parallels and intersectors are then contraries. But when the student comes to solid geometry, in which all space is the universe, there are lines which are neither parallels nor intersectors; and these words are then not contraries. But names which are contraries in the larger and containing universe, are necelsarily contraries in the smaller and contained, unless the smaller universe absolutely exclude one name, and then the other name is the universe.

Übersetzung (W. Kowarschick)
Lassen Sie uns ein Paar gegensätzlicher Namen nehmen, wie Mensch und Nicht-Mensch. Es ist offensichtlich, dass sie zusammen alles Vorstellbare oder Reale im Universum repräsentieren. Aber Gegensätze umfassen in der Gemeinsprache üblicherweise nicht das gesamte Universum, sondern eine allgemeine Idee. Auf diese Weise sind, hinsichtlich Menschen, Briten und Ausländer Gegensätze: Jeder Mensch muss eines von beiden sein, niemand kann beides sein. Nicht-Briten und Ausländer sind identische Namen, genauso wie Nicht-Ausländer und Briten.

...

Namen können durch die Buchstaben des Alphabets repräsentiert werden: So können A, B etc. für alle Namen stehen, die wir betrachen, einfach oder komplex. Die Gegenteile könnten durch Nicht-A, Nicht-B etc. repräsentiert werden, aber normalerweise bevorzuge ich, sie durch Kleinbuchstaben a, b etc. zu kennzeichnen. So is alles im Universum (was auch immer das Universum umfasst) entweder A oder Nicht-A, entweder A oder a, entweder B oder b etc. Nichts kann beides sein, B und b; jedes Nicht-B ist b und jedes Nicht-b ist b: und so weiter.

...

Aber wenn wir uns daran erinnern, dass in vielen, möglicherweise den meisten Aussagen der Bedeutungsbereich viel weniger das gesamte Universum ist, wie es üblicherweise verstanden wird, fangen wir an zu erkennen, dass der gesamte Umfang eines Gesprächsgegenstandes, für den Zweck der Diskussion das ist, was ich Universum genannt habe, das heißt ein Bereich von Ideen, der entweder formuliert oder nachvollziehbar den gesamten Betrachtungsgegenstand enthält. In derartigen Universen sind Gegensätze ziemlich üblich: Das heißt, Terme von denen jeder einzelne jeden Einzelfall des anderen ausschließt, während beide zusammen das Gesamte beinhalten.

...

Unter dem Universum einer Aussage verstehe ich den gesamten Bereich, in dem sie formuliert ist oder in dem vorausgesetzt wird, dass die Namen in der Aussage gefunden werden. Wenn es keine derartige Formulierung oder Voraussetzung gibt, dann ist das Universum der Aussage der gesamte Bereich möglicher Namen. Wenn das Universum der Name U ist und wir somit das Recht haben ‚Jedes X ist Y‘ zu sagen, dann können wir das Universum nur erweitern, indem wir die Aussage so machen, dass sie alle möglichen Namen enthält, indem wir ‚Jedes X, welches U ist, ist eines der Ys die Us sind‘ sagen oder etwas Äquivalentes.

...

Namen, die in einem Universum Gegenteile voneinander sind, sind dies nicht notwendigerweise auch in einem größeren Universum. So sind in der Geometrie, wenn das Universum eine Ebene ist, Paare von geraden Linien entweder Parallelen oder Schneidende, aber niemals beides. Parallelen und Schneidende sind hier Gegenteile voneinander. Wenn aber ein Student zur soliden Geometrie kommt, in der der gesamte Raum das Universum ist, gibt es Linien, die weder Parallelen noch Schneidende sind; dann sind diese Wörter keine Gegenteile voneinander. Aber Namen, die im größeren und beinhaltenden Universum Gegenteile voneinander sind, sind dies notwendigerweise auch in den kleineren und enthaltenen, sofern das kleinere Universum nicht einen Namen ganz ausschließt und dann der andere Name das Universum ist.

6.3 Definition „Universe“ (Boole (1847), S. 15[14])

Let us employ the symbol 1, or unity, to represent the Universe, and let us understand it as comprehending every conceivable class of objects whether actually existing or not, it being premised that the same individual may be found in more than one class, inasmuch as it may possess more than one quality in common with other individuals.

Übersetzung (W. Kowarschick)
Lassen Sie uns das Symbol oder die Einheit 1 dazu benutzen, dass Universum zu repräsentieren, und lassen Sie es uns so verstehen, dass es jede denkbare Klasse von Objekten umfasst, ob sie tatsächlich existieren oder auch nicht, wobei vorausgesetzt wird, dass dasselbe Individuum in mehr als einer Klasse gefunden werden kann, genauso wie es mehr als eine Eigenschaft gemeinsam mit anderen Individuen besitzen kann.

6.4 Definition „Universe of Discourse“ (Boole (1854), S. 42[15])

In every discourse, whether of the mind conversing with its own thoughts, or of the individual in his intercourse with others, there is an assumed or expressed limit within which the subjects of its operation are confined. The most unfettered discourse is that in which the words we use are understood in the widest possible application, and for them the limits of discourse are co-extensive with those of the universe itself. But more usually we confine ourselves to a less spacious field. Sometimes, in discoursing of men we imply (without expressing the limitation) that it is of men only under certain circumstances and conditions that we speak, as of civilized men, or of men in the vigour of life, or of men under some other condition or relation. Now, whatever may be the extent of the field within which all the objects of our discourse are found, that field may properly be termed the universe of discourse.

Furthermore, this universe of discourse is in the strictest sense the ultimate subject of the discourse.

Übersetzung (W. Kowarschick)
In jedem Diskurs, ob vom Gehirn, das mit seinen eigenen Gedanken spricht, oder vom Individuum im Umgang mit anderen, gibt es eine angenommene oder formulierte Begrenzung, von welcher die Themen dieses Vorgangs beschränkt werden. Der freieste Diskurs ist derjenige, in dem die Wörter, die wir verwenden, im weitest möglichen Einsatzbereich verstanden werden, und für diese sind die Grenzen des Diskurses inhaltsgleich mit denen des Univerums selbst. Üblicherweise beschränken wir uns aber selbst auf ein weniger ausgedehntes Feld. Manchmal, wenn wir über Menschen sprechen, implizieren wir (ohne die Beschränkung zu äußern), dass es nur um Menschen unter bestimmten Umständen und Bedingungen geht, wie um zivilisierte Menschen oder um Menschen auf der Höhe ihrer Schaffenskraft um Menschen unter irgendwelchen anderen Bedingungen oder Beziehungen. Unabhängig davon, welchen Umfang das Gebiet hat, in welchem alle Objekte unseres Diskurses gefunden werden, dieses Feld sollte angemessenerweise Diskursuniversum genannt werden.

Darüber hinaus ist dieses Diskursuniverum im strengsten Sinne das ulimative Thema des Diskurses.

6.5 Definition „Universe of Discourse“ (Peirce, Ladd-Franklin (1902)[12])

Universe (in logic) of discourse, of a proposition, &c. In every proposition the circumstances of its enunciation show that it refers to some collection of individuals or of possibilities, which cannot be adequately described, but can only be indicated as something familiar to both speaker and auditor. At one time it may be the physical universe of sense (1) [The collection of all material things; Anm.: W. Kowarschick] , at another it may be the imaginary “world” of some play or novel, at another a range of possibilities.

Übersetzung (W. Kowarschick)
Diskursuniversum (in der Logik), Universum einer Aussage etc. Für jede Aussage zeigen die Umstände seiner Enunziation [Erklärung, Äußerung; Anm.: W. Kowarschick], dass er auf irgendeine Sammlung von Individuen oder Möglichkeiten verweist, die nicht adäquat beschrieben, sondern nur als etwas angegeben werden kann, das sowohl dem Sprecher, als auch dem Autor bekannt ist. Zu einem Zeitpunkt kann es sich um ein physisches Universum im Sinne von (1) [Die Sammlung aller materiellen Dinge; Anm.: W. Kowarschick] handeln, zu einem anderen Zeitpunkt kann es die imaginäre „Welt“ irgendeines Spiels oder einer Novelle sein, wann anders eine Reihe von Möglichkeiten.

6.5.1 Anmerkungen von Peirce und Ladd-Franklin

The term was introduced by De Morgan in 1846 (Cambr. Philos. Trans., viii 380) but De Morgan never showed that he fully comprehended it.

'Übersetzung (W. Kowarschick) Der Begriff wurde 1846 von De Morgan eingeführt (Cambr. Philos. Trans., viii 380), aber De Morgan hat niemals gezeigt, dass er ihn vollkommen verstanden hat.

7 Quellen

  1. Sebesta (2016): Robert W. Sebesta; Concepts of Programming Languages; Auflage: 11; Verlag: Prentice Hall; ISBN: 978-1292100555, 978-0133943023; 2016; Quellengüte: 5 (Buch)
  2. McCarthy et. al. (1960): John McCarthy, R. Brayton, Daniel J. Edwards, P. Fox, L. Hodes, D. Luckham, K. Maling, D. Park und S. Russell; LISP I Programmer's Manual; Hochschule: Massachusetts Institute of Technology; Adresse: Cambridge, Massachusetts; Web-Link; 1960; Quellengüte: 5 (Technischer Bericht)
  3. Ullman (1988): Jeffrey D. Ullman; Principles of Database and Knowledge-Base Systems – Volume I: Classical Database Systems; Verlag: Computer Science Press; Adresse: New York, Oxford; ISBN: 0-7167-8158-1; Web-Link; 1988; Quellengüte: 5 (Buch)
  4. Cantor (1874): Georg Cantor; Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen; in: Journal für die reine und angewandte Mathematik; Band: 1874; Nummer: 77; Seite(n): 258 – 262; Verlag: Walter de Gruyter GmbH; Adresse: Berlin; ISSN: 14355345 (Print) 00754102 (Online); Web-Link 0, Web-Link 1, [ Web-Link 2]; 1847; Quellengüte: 5 (Artikel)
  5. 5,05,1Cantor (1895): Georg Cantor; Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre; in: Mathematische Annalen; Band: 46; Nummer: 4; Seite(n): 481 – 512; Verlag: B. G. Teubner Verlag; Adresse: Leipzig; ISSN: 00255831 (Papier), 14321807 (Online); Web-Link 0, Web-Link 1, Web-Link 2, Web-Link 3; 1895; Quellengüte: 5 (Artikel)
  6. Langenscheid: Langenscheidt Online-Wörterbuch; Organisation: Langenscheidt GmbH & Co. KG; Adresse: München; https://woerterbuch.langenscheidt.de/ssc/search.html; Quellengüte: 4 (Web)
  7. ↑Kern-Bausch, Jeckle (2001
  8. 8,08,1Menne (1973): Albert Menne; Einführung in die Logik; Reihe: Uni-Taschenbücher; Nummer: 34; Auflage: 2; Verlag: Francke Verlag; Adresse: München; ISBN: 3-7720-0005-3; 1973; Quellengüte: 5 (Buch)
  9. 9,09,19,2De Morgan (1847): Augustus De Morgan; Formal Logic, or, The Calculus of Inference, Necessary and Probable; Verlag: Taylor and Walton; Adresse: London; Web-Link 0, Web-Link 1, Web-Link 2, Web-Link 3; 1847; Quellengüte: 5 (Buch)
  10. Quine (1954): Willard Van Orman Quine; Logic, Symbolic; The Encyclopedia Americana; Verlag: Americana Corp.; 1957; Quellengüte: 5 (Sammelband)
  11. Quine (1995): Willard Van Orman Quine; Selected Logic Papers – Enlarged Edition; Auflage: 2; Verlag: Harvard University Press; Adresse: Cambridge, London; ISBN: 978-0674798366, 0-674-79836-8, 0-674-79837-6; Web-Link; 1995; Quellengüte: 5 (Buch), S. 51
  12. 12,012,112,2Peirce, Ladd-Franklin (1902): Charles Sanders Peirce und Christine Ladd-Franklin; Universe of Discourse; Dictionary of Philosophy and Psychology; Hrsg.: James Mark Baldwin; Band: 2; Seite(n): 742; Verlag: The Macmillan Company und Macmillan and Co; Adresse: New York, London; Web-Link; 1902; Quellengüte: 5 (Sammelband)
  13. 13,013,1De Morgan (1846): Augustus De Morgan; 0n the Structure of the Syllogism and on the Application of the Theory of Probabilities to Questions of Argument and Authority; Transactions of the Cambridge Philosophical Society; Hrsg.: Cambridge Philosophical Society; Band: 8; Seite(n): 379 – 408; Verlag: Cambridge University Press; Web-Link; 1849; Quellengüte: 5 (Sammelband)
  14. 14,014,1Boole (1847): George Boole; The Mathematical Analysis of Logic – Being an Essay Towards a Calculus of Deductive Reasoning; Verlag: Macmillan; Adresse: Cambrdge; Web-Link 0, Web-Link 1; 1847; Quellengüte: 5 (Buch)
  15. 15,015,1Boole (1854): George Boole; An Investigation of The Laws of Thought on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities; Verlag: Macmillan; Adresse: London; Web-Link 0, Web-Link 1, Web-Link 2; 1854; Quellengüte: 5 (Buch)
  16. Kass-Simon, Farnes (1990): Women of Science – Righting the Record; Hrsg.: Gabriele Kass-Simon, Patricia Farnes und Deborah Nash; Verlag: Indiana University Press; Adresse: München; ISBN: 0253208130, 978-0253208132; Web-Link; 1990; Quellengüte: 5 (Buch), S. 123, S. 144

8 Siehe auch

Datum der vermutlich ersten Definition des Logikbegriffs „Universum“.
Die vermutlich erste Definition des Begriffes „Universum“ für die Logik.
George Boole hat den heute üblichen Begriff “Universe of Discourse” geprägt.

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